ラインド数学パピルス

ラインド数学パピルス

ラインド数学パピルス

大英博物館、ロンドン

［画像：ラインド数学パピルスの断片］

日付

紀元前1550年頃

原産地

テーベ、エジプト

言語

エジプト語（ヒエラティック）

書記

アハメス

素材

パピルス

サイズ

第一部 (BM 10057 ):

• 長さ: 295.5 cm
• 幅: 32 cm

第二部 (BM 10058 ):

• 長さ: 199.5 cm
• 幅: 32 cm

ラインド数学パピルス（Rhind Mathematical Papyrus、RMP、またはパピルス 大英博物館 10057、pBM 10058、ブルックリン美術館 37.1784Ea-b とも呼ばれる）は、古代エジプトの数学の最もよく知られた例の一つです。

これは、モスクワ数学パピルスと並ぶ、よく知られた2つの数学パピルスのうちの1つです。ラインド・パピルスは、第二中間期の終盤、第15王朝に書かれたもので、より大きく、より新しいものです。

パピルスの冒頭部分で、アハメスはパピルスを「物事を調査するための正確な計算、そしてすべての事柄、神秘...すべての秘密の知識」を与えるものとして提示しています。彼は続けてこう述べています。

この書は、王の年33、アケトの第4月に、上エジプトと下エジプトの王、生命を与えられたアウセルラ陛下の威光のもと、ニマアトレ王の時代の古い写本から写されたものである。書記アハメスがこの写しを書く。

アウセルラという名は、ヒクソス王アペピのプレノーメン（即位名）でした。言及されているニマアトレという名は、中王国の第12王朝のファラオ、アメンエムハト3世のプレノーメンでした。

ラインド数学パピルスに関する多くの書籍や論文が発表されており、その中でもいくつかのものが際立っています。1923年には、イギリスのエジプト学者T. Eric Peetが『The Rhind Papyrus』を出版し、Francis Llewellyn Griffithによる第1、第2、第3巻のアウトラインに続く本文の議論が含まれています。1927年から1929年にかけてArnold Buffum Chaceは、本文の写真を含む集成を出版しました。より最近では、1987年にRobinsとShuteによる概説が出版されています。

ラインド数学パピルスの裏面（verso）には、別の王の年号とともに、この重要な記述があります。

王の年11、シェム（収穫期）の第2月、ヘリオポリスが占領された。アケト（洪水期）の第1月、23日、「南のもの」がチャル（ギリシャ語でシレ、現代のテル・エル・ヘブワ）を襲撃した。

エジプト学者のトーマス・シュナイダーとイレーネ・フォルストナー＝ミュラーは共に、「南のもの」はテーベの王アモセ1世を指すに違いないと同意しています。トーマス・シュナイダーは次のように書いています。

「『南のもの』はテーベの支配者アモセを指すはずなので、王の年11はヒクソス王アペピの後継者であるカームディにのみ割り当てられる。ヒクソス王国の首都アヴァリスは、それほど遅くない時期にアモセによって陥落したはずだ。」

歴史

ラインド数学パピルスは、エジプトの第二中間期にまで遡ります。書記アハメス（数学史家が好む古い転写である「Ahmes」）が、現在失われている第12王朝の王アメンエムハト3世の治世の写本から写したものです。

紀元前1550年頃の日付が付されています。この文書は、ヒクソス王アポフィスの治世33年と日付が付けられており、さらにその継承者であるカームディの「11年」からおそらく日付が付された別の歴史的注記が裏面に含まれています。

スコットランドの古物収集家Alexander Henry Rhindは、1858年にルクソール、エジプトでパピルスの2つの部分を購入しました。それはルクソール近郊のラメセウムの近くの小さな建物の一つから発見されたとされています。

現在パピルスの大部分が保管されている大英博物館は、ヘンリー・ラインドが所有していたエジプト数学革製巻物とともに、1865年にそれを取得しました。

テキストの断片は、1860年代半ばにアメリカのエジプト学者Edwin Smithがルクソールで独自に購入し、1906年に彼の娘によってニューヨーク歴史協会に寄贈され、現在はブルックリン美術館に所蔵されています。中央の18cmの部分は欠落しています。

パピルスは19世紀後半に転写および数学的翻訳が開始されました。数学的翻訳の側面は、いくつかの点でまだ完了していません。

書籍

第1部 – 算術と代数

ラインド・パピルスの最初の部分は、参照表と21の算術問題および20の代数問題のコレクションで構成されています。問題は、単純な分数表現から始まり、補完（sekem）問題、そしてより複雑な一次方程式（aha問題）へと進みます。

パピルスの最初の部分は、2/n表で占められています。奇数n（3から101まで）に対する分数2/nは、単位分数の和として表現されています。例えば、${rac {2}{15}}={rac {1}{10}}+{rac {1}{30}}}$です。2/nを単位分数に分解する際に、項数は最大でも4つです。例えば、${rac {2}{101}}={rac {1}{101}}+{rac {1}{202}}+{rac {1}{303}}+{rac {1}{606}}}$です。

この表に続いて、1から9までの数を10で割った分数表現の、はるかに小さい表があります。例えば、7を10で割った値は次のように記録されています。

7割る10は 2/3 + 1/30

これらの2つの表の後、パピルスには合計91の問題が記録されており、これらは現代では問題（または数）1～87として指定され、問題7B、59B、61B、82Bとして指定された他の4つの項目も含まれています。問題1～7、7B、および8～40は、算術と初等代数に関するものです。

問題1～6は、一定数のパンを10人で分割し、その結果を単位分数で記録する計算です。問題7～20は、1 + 1/2 + 1/4 = 7/4のような表現を異なる分数でどのように乗算するかを示しています。問題21～23は補完問題であり、現代の表記法では単純な減算問題です。問題24～34は「aha」問題であり、これらは一次方程式です。例えば、問題32は、現代の表記法ではx + 1/3 x + 1/4 x = 2をxについて解くことに対応します。問題35～38は、古代エジプトの体積単位であるヘカトの分割に関係しています。この時点から、様々な単位の測定がパピルスの残りの部分でますます重要になり、実際、パピルスの残りの部分全体で主要な考慮事項は次元解析です。問題39と40は、パンの分割と等差数列を計算します。

第2部 – 幾何学

［画像：ラインド・パピルスの断片の再構築］

ラインド・パピルスの第2部、問題41～59、59B、60は、幾何学の問題で構成されています。Peetはこれらの問題を「測量問題」と呼んでいました。

体積

問題41～46は、円筒形および長方形の穀倉の体積の求め方を示しています。問題41で、アハメスは円筒形穀倉の体積を計算します。直径dと高さhが与えられた場合、体積Vは次のように与えられます。

$V=\left
ightd\right]^{2}h$

現代の数学表記法（およびd = 2rを使用）では、これは $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$ となります。分数項256/81は、πの値を3.1605...と近似しており、1%未満のエラーです。

問題47は、物理的な体積量「100四倍ヘカト」を10から100までの10の倍数でそれぞれ割った分数等式の表です。商はホルスの目の分数で表され、時には「四倍ロ」というはるかに小さい体積単位も使用されます。四倍ヘカトと四倍ロは、ヘカトとロから派生した体積単位であり、これらの4つの体積単位は次の関係を満たします：1四倍ヘカト = 4ヘカト = 1,280ロ = 320四倍ロ。したがって、

100/10四倍ヘカト = 10四倍ヘカト

100/20四倍ヘカト = 5四倍ヘカト

100/30四倍ヘカト = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64)四倍ヘカト + (1 + 2/3)四倍ロ

100/40四倍ヘカト = (2 + 1/2)四倍ヘカト

100/50四倍ヘカト = 2四倍ヘカト

100/60四倍ヘカト = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32)四倍ヘカト + (3 + 1/3)四倍ロ

100/70四倍ヘカト = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64)四倍ヘカト + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42)四倍ロ

100/80四倍ヘカト = (1 + 1/4)四倍ヘカト

100/90四倍ヘカト = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64)四倍ヘカト + (1/2 + 1/18)四倍ロ

100/100四倍ヘカト = 1四倍ヘカト

面積

問題48～55は、様々な面積の計算方法を示しています。問題48は、円の面積を計算する際に円周率πを簡潔に近似している点で注目に値します。具体的には、問題48は、円の面積がその外接する正方形の面積に対して64/81の比率であるという慣例を明確に強化しています。これは、問題41の説明で既に述べたように、πを256/81と近似することに相当します。

他の問題では、長方形、三角形、台形の面積の求め方を示しています。

ピラミッド

最後の6つの問題は、ピラミッドの傾斜に関連しています。セケドの問題は次のように報告されています。

「高さ250キュビト、底辺の長さ360キュビトのピラミッドがある場合、そのセケドは？」

問題の解は、ピラミッドの底辺の半分の長さと高さの比、つまりその面のラン（水平距離）対ライズ（垂直距離）の比として与えられます。言い換えれば、セケドで見つかる量は、ピラミッドの底面とその面との角度の余接です。

第3部 – その他

ラインド・パピルスの第3部は、問題61、61B、62～82、82B、83～84、および「数」85～87からなる残りの91の問題で構成されており、これらは数学的な性質を持たない項目です。この最後のセクションには、より複雑なデータ表（しばしばホルスの目の分数を含む）、食品準備に関する初歩的な代数問題であるいくつかのペフス問題、さらには幾何級数、幾何級数、および歴史上の後の問題やなぞなぞを示唆する面白い問題（79）さえ含まれています。問題79は明確に、「7つの家、49匹の猫、343匹のネズミ、2401本のスペルト小麦の穂、16807ヘカト」と引用しています。特に問題79は、7つの家それぞれに7匹の猫がおり、それらはすべて7匹のネズミを食べ、各ネズミは7粒のスペルト小麦を食べ、各粒は7単位の穀物を生産するという状況に関係しています。したがって、ラインド・パピルスの第3部は、すでに提示されたものを基盤とした、一種の雑多なコレクションです。問題61は分数の乗算に関係しています。一方、問題61Bは、nが奇数の場合の2/3nの一般的な式を与えています。現代の表記法では、式は次のようになります。

${rac {2}{3n}}={rac {1}{2n}}+{rac {1}{6n}}}$

61Bで与えられた手法は、2/n表の導出と密接に関連しています。

問題62～68は、代数的な性質を持つ一般的な問題です。問題69～78は、すべて何らかの形でペフス問題です。これらは、生産に使用される特定の原材料に関して、パンとビールの強度に関する計算を含みます。

問題79は幾何級数の5項の和を計算します。その言葉遣いは、現代のなぞなぞや童謡「セント・アイヴスへ行く途中」を強く示唆しています。問題80と81は、ヒヌ（またはヘカト）のホルスの目分数を計算します。最後の4つの数学項目、問題82、82B、および83～84は、鶏や牛などの様々な動物に必要な飼料の量を計算します。しかし、これらの問題、特に84は、広範な曖昧さ、混乱、および単純な不正確さによって悩まされています。

ラインド・パピルスの最後の3つの項目は、「問題」ではなく「数」として指定されており、パピルスの裏面の様々な場所に散らばっています。これらはそれぞれ、文書を締めくくる短いフレーズ（下にいくつかの翻訳の可能性あり）、文書本体とは無関係のスクラップ用紙（文書をまとめるために使用されたが、すでに馴染みのある言葉やエジプト分数を含む）、および文書の執筆完了後しばらくして書かれたと思われる短い歴史的注記です。この注記は、古代エジプト社会における外部からの介入の期間であり、その中間期と密接に関連している「ヒクソス支配」の期間の出来事を描写していると考えられています。これらの非数学的でありながら歴史的および言語学的に興味深い誤記とともに、パピルスの執筆は終了します。

単位換算

ラインド・パピルスの資料の多くは、古代エジプトの単位と、それらを換算するために使用される次元解析に関係しています。パピルスで使用されている単位の換算表を画像に示します。

［画像：ラインド・パピルス単位換算表］

内容

この表は、ラインド・パピルスの内容を簡潔な現代の言い換えで要約したものです。これは、Arnold Buffum Chaceが1927年と1929年に出版した2巻構成の解説に基づいています。一般的に、パピルスは4つのセクションで構成されています：タイトルページ、2/n表、小さな「1～9/10表」、および91の問題または「数」です。後者は1から87まで番号が付けられており、現代では問題7B、59B、61B、82Bとして指定された4つの数学項目が含まれています。一方、数85～87は文書本体を構成する数学項目ではなく、それぞれ文書を締めくくる短いフレーズ、文書をまとめるために使用された「スクラップ用紙」（すでに無関係な書き込みが含まれていた）、およびパピルス本体の執筆完了直後の期間を描写していると思われる歴史的注記です。これら3つの後者の項目は、パピルスの裏面の離れた領域に書かれています。したがって、Chaceはこれらを他の88の番号付き項目とは異なり、「数」と名付けて区別しています。

も参照

［画像：ウィキソースロゴ］

英語のウィキソースには、この記事に関連する原文があります：

• 古代エジプトのパピルスのリスト
• アクミム木製タブレット
• 古代エジプトの単位
• セント・アイヴズへ行く途中
• ベルリン・パピルス6619
• 数学の歴史
• ラフン数学パピルス

参考文献

• Chace, Arnold Buffum; et al. (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 1. オーバーリン、オハイオ州: 数学協会 – インターネットアーカイブ経由。
• Chace, Arnold Buffum; et al. (1929). The Rhind Mathematical Papyrus. Vol. 2. オーバーリン、オハイオ州: 数学協会 – インターネットアーカイブ経由。
• Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs (Dover reprint ed.). MIT Press. ISBN 0-486-24315-X。
• Robins, Gay; Shute, Charles (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4。

参照

1. 1 2 3 4 5 6 Spalinger, Anthony (1990). "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document". Studien zur Altägyptischen Kultur. 17. Helmut Buske Verlag: 295–337. JSTOR 25150159.
2. 1 2 3 4 5 6 Clagett, Marshall (1999). Ancient Egyptian Science, A Source Book. Memoirs of the American Philosophical Society. Vol. Three: Ancient Egyptian Mathematics. American Philosophical Society. ISBN 978-0-87169-232-0.
3. 1 2 Peet, T. Eric (1923). The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058. University Press of Liverpool. For the location where the papyrus was found see page 2.
4. 1 2 Chace, Arnold Buffum (1979) [1927–29]. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. Classics in Mathematics Education. Vol. 8. 2 vols (Reston: National Council of Teachers of Mathematics Reprinted ed.). Oberlin: Mathematical Association of America. ISBN 0-87353-133-7.
5. ↑ Irene Forstner-Mueller, The end of the Hyksos State, The Hyksos State in (eds: Karen Radner, Nadine Moeller and D.T. Potts), "The Oxford history of the Ancient Near East: from the Hyksos to the Late Second Millenium B.C." Volume: III, Oxford University Press, 2022, p. 37 Irene Forstner-Mueller states that "There is little doubt that the regnal year referred to here is that of the Hyksos king Khamudi, whereas "he of the South" is Ahmose."
6. ↑ Thomas Schneider, "The Relative Chronology of the Middle Kingdom and the Hyksos Period (Dyns. 12-17)". In Hornung, Erik; Krauss, Rolf; Warburton, David (eds.). Ancient Egyptian Chronology. Handbook of Oriental Studies. Brill. 2006 p.195
7. ↑ Irene Forstner-Mueller, The end of the Hyksos State, The Hyksos State in (eds: Karen Radner, Nadine Moeller and D.T. Potts), "The Oxford history of the Ancient Near East: from the Hyksos to the Late Second Millenium B.C." Volume: III, Oxford University Press, 2022, p. 37 Irene Forstner-Mueller states that "There is little doubt that the regnal year referred to here is that of the Hyksos king Khamudi, whereas "he of the South" is Ahmose."
8. ↑ "The Rhind Mathematical Papyrus". The British Museum. Retrieved 2022-12-21.
9. 1 2 cf. Schneider, Thomas (2006). "The Relative Chronology of the Middle Kingdom and the Hyksos Period (Dyns. 12–17)". In Hornung, Erik; Krauss, Rolf; Warburton, David (eds.). Ancient Egyptian Chronology. Handbook of Oriental Studies. Brill. pp. 194–195. ISBN 9789004113855.
10. ↑ "Egyptian mathematics". Maths History. Retrieved 2024-06-15.
11. ↑ Guggenbühl, Laura (October 1964). Eves, Howard (ed.). "The New York fragments of the Rhind Mathematical Papyrus". Historically Speaking. The Mathematics Teacher. 57 (6): 406–410. doi:10.5951/mt.57.6.0406. JSTOR 27957095.
12. ↑ "Collections: Egyptian, Classical, Ancient Near Eastern Art: Fragments of Rhind Mathematical Papyrus". Brooklyn Museum. Retrieved November 1, 2012.
13. 1 2 Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.

外部リンク

• 大英博物館のパピルス第一部のページ
• 大英博物館のパピルス第二部のページ
• 大英博物館のパピルスに関するページ （ウェイバックマシンアーカイブ、2015年6月29日）
• "Mathematics in Egyptian Papyri". マクチューター数学史アーカイブ.
• Weisstein, Eric W. "Rhind Papyrus". MathWorld.
• Williams, Scott W. Mathematicians of the African Diaspora, containing a page on Egyptian Mathematics Papyri.

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