数学は変わった。それに合わせて行動しよう

数学は変わった。それに合わせて行動しよう

（これはフランク・カレガリ氏によるゲスト投稿です。このブログ記事は当初、異なるファイル形式で書かれ、AIによって変換されました。— T.）

なぜ悲しむべきではないのか

10月6日にOpenAIが公開した700以上の研究論文は、数学の歴史における分水嶺となった。AIは今や、数学の多くの分野で画期的な貢献をすることが否定できないほど可能になった。では、なぜ一部の数学者はこれほど不満なのでしょうか？

その一部は、AI企業が数学の実践を軽視しているように見えることに起因する。OpenAIの論文は、素晴らしいアイデアが含まれているにもかかわらず、非常に書き方が悪く、帰属表示に関する我々のコミュニティの期待を裏切っている。中には間違っているものさえある。我々は、数学者の採用、論文の発表、学生の教育方法については、数兆ドル規模の企業の行動よりもはるかに多くのコントロールを持っている。そして、そこに我々の努力を費やす方が良いだろう。

この反応の多くは、愛する対象が攻撃されている、あるいは「空洞化」されているという感情を反映しているようだ。最近のOpenAIの論文群は、ラングランズ・プログラムにおける関手性や相反定理といった一般的な問題にはほとんど影響を与えなかった。しかし、もしそれらがラングランズ・プログラムの全ての問題を解決したとしても、それが「数論を解決した」と想像するのは、周期表の作成が「化学を解決した」と言うのと同じくらいナイーブだろう。数学者は、どの分野であれ、中心的な問題について語るとき、それは我々の理解の最も自然な境界線に過ぎないことを、そしてそれらを解き明かすことは終わりではなく、探求すべき新しい遊び場を見つけるための第一歩であることを、より良く説明すべきである。もちろん、これには時間がかかる。私は数学の分野で「より大きな打撃を受けた」ものを探してみた。ヒューゴ・デュミニル＝コパンの嘆きに心を打たれないわけにはいかない。

私がキャリアを通じて公に言及してきた主要な未解決問題（講演、講義、記事、あるいは助成金申請書でさえ）のうち、発表されたものリストに一つも載っていなかった。全てが証明されたと主張されている。

いくつかの問題がリストに含まれることを期待していた。しかし、全てではない。一度に全てではない。これほど無頓着に。

それに対して私はどう答えるだろうか？

有限単純群の分類

パーコレーション理論については多くを語れないが、数学者が注目すべき別の歴史的先例があると思う。1972年、ダン・ゴレンシュタインは有限単純群の分類に向けたプログラムを発表した。約10年間の活発な活動の後、1983年にゴレンシュタインによって「分類」が発表された（やや時期尚早で、準薄群のケースはさらに20年後、アシュバッハーとスミスによって完成された）。

有限単純群の分類は、多くの点で大きな成功であったが、同時に失敗でもあった。それは、私の群論の友人や共同研究者には申し訳ないが、その分野への関心を大いに冷めさせてしまったからだ。「有名な問題」は消え去り、数学者たちは全体として注意を他の場所に移した。しかし、有限群論、さらには分類自体についても、非常に豊かな問いが残っている（例えば、ジョン・コンウェイのお気に入りの問いは「モンスター群はなぜ存在するのか？」である）。おそらく、いくつかの分野にとって、OpenAIの論文群は、1970年に分類が、実際の論文の形ではなく、インクが滲んだスピリット・デュプリケーターで印刷され、紙吹雪のように床にランダムにばらまかれた形で、誰かのオフィスに届けられたとしたら、群論者が感じたであろう感覚に似ているのかもしれない。

今、我々にはゴレンシュタイン、ライオンズ、ソロモンらの改訂分類に関する仕事のような努力が必要である。もしこれだけが我々の仕事であれば、それはかなり報われない仕事だろう。しかし、我々には、その分野が「完了した」と宣言するのではなく、これらの新しいツールが利用可能になった今、さらなる調査に適していると考える責任もある。銀河バイパスの建設によって見落とされた曲がりくねった道について嘆くとき、数学者たちは、それらの古い道がまだ存在することに気づき、それらを求めなければならない。そして、人々を雇用する際に、そのような行動を評価する必要がある。

AIの約束と、数学の（非）統一性：

15歳以来、［画像: {\zeta(3)}］が何であるかを知りたいと思ってきた。最初は、オイラーが見逃した公式を見つけるという子供時代の空想だった。しかしすぐに、より多くのことを学ぶ：グロタンディークの周期予想が、混合テート動機（ドン・ザギール、サーシャ・ゴンチャロフ、フランシス・ブラウンらの仕事に続く）の十分に細かい理解とともに、何が起こっているのかを完全に満足のいく構造的、推測的な説明を与える方法。［画像: {\zeta(3)}］の無理数性、あるいは超越性でさえ、実際の興味深い根底にある問題の単なる影に過ぎない。アペリーによる［画像: {\zeta(3)}］の無理数性の証明は、その結論のためではなく、代数的な［画像: {G}］-関数と算術を結びつける、まだ秘密の物語の最も微細なヒントをどのように明らかにするかを示してくれたため、30年以上私を鼓舞してきた。

AIが、数学者が証明できない最初の自然な予想に縛られるという窮屈さから抜け出し、我々の分野全体に織り込まれたより深い謎を解き明かすことに取り組むのを助けてくれることを願っている。過去30年間、人間による数学の進歩は目覚ましいものであった。しかし同時に、私は増大する不安を感じてきた。あらゆるレベルの数学者が、自分のやっていることがなぜ興味深いのかを、自分の分野から少しでも外れた人に説明できないのを何度も見てきた。我々の職業の自然な溝は、より大きなビジョンよりも、狭い専門知識へと大きく曲げられてきた。AIは、数学者として私たち自身を広げるための驚くべき機会を与えてくれる。

私は（必ずしも成功したわけではないが）数学者として幅広くあろうとしてきた。17歳から代数数論とラングランズ・プログラムで働きたいと思っていたが、メルボルン大学という、多くのサーストン学生や低次元トポロジストの拠点であった環境で育ったという事実が助けになった。それは私が双曲3多様体の甘いリキュールに浸かっていたことを意味する。その経験は私のキャリアを計り知れないほど助けてくれた。深い数学の分野が二つある場合、双曲3多様体と算術は、最初に現れるよりもはるかに密接に関連している。しかし、両方の専門家になること、ましてやそれらを組み合わせたクレイジーなアイデアを追求することは依然として難しい。少し専門的になろう。任意の虚二次体［画像: {F}］に対して、非分裂四元数代数［画像: {D/F}］によってインデックス付けされた、コンパクトな算術双曲3多様体の多くの共測度類が存在する。これらの共測度類の各々にある多様体［画像: {M}］は、［画像: {M}］を双曲四面体に分解することによって［画像: {K_3(F)}］の元を生み出し、それらの体積は常に［画像: {\zeta_F(2) \cdot \pi^{-2} \cdot \sqrt{|\Delta_F|}}］の有理数倍である。私は常に、これらの異なる共測度類の元を、幾何学的なコリュバーギン系（「ヒーグナー点」）の一種として［画像: {K_3(F)}］に関連付けられると考えるというアイデアを持っていた。そして、それを未知の積分算術的なジャケ・ラングランズ対応のバージョンで結合できると考えていた。これは私が追求してこなかった問題である。理由は二つある。第一に、多くの根底にある予想が関わっていたため、私が証明できるどんな結果も、それらの多くに条件付けられることになる。これは数学界では必ずしも評価されないことである。第二に、そのようなアイデアを正確に定式化するために必要な全ての技術的背景を組み立てるには、膨大な量の予備作業が必要になるだろう。今、AIを使えば、そのような問題に取り組むための障壁ははるかに低くなっている。それは定理を証明しようとするのではなく、無意味かもしれないし、そうでないかもしれない、全く新しい方向を探求しようとすることである。数学には、まだ非常に新鮮で活気に満ちているが、以前は手が届かなかった問題が数多くあり、それらにアプローチできる機会は非常にエキサイティングである。我々はより野心的になり、1年前にさえ想像できなかった大胆な研究計画を作成する必要がある。

これは、誰もがAIを使用しなければならない（あるいは使用してはならない）という意味ではない。しかし、何が重要かを再考し、調整しなければならない。AIを使用するかどうかにかかわらず、主要な予想の証明は、新しい数学の一部であり続けるだろう。しかし、より広範なプログラム（新規および旧来のもの）と構造的理解に向けた取り組みが、より根本的な役割を果たすことになるだろう。クリスチャン・スゼゲディは次の点を提起した：

数学は、誰も登れなかったものを登れる人々に対する深い敬意とともに、能力主義であることに誇りを持っていた。その特定の種類の英雄主義は重要性を失い、他のスキルがより重要になるだろう：探求する価値のある地形を選択すること、航空機の艦隊を操縦すること、そしてそれらが見つけたものを世界に説明すること。

私は飛行機に乗る準備ができている。なぜなら、そこにあるものを見たいからだ。同時に、これまで目を閉じて地上を歩いていた人々は、どれだけ高く飛んでも何も認識できないだろうと付け加えたい。私は、数学者が現在持っている多くのスキルが、新しい世界秩序に移行可能であるだけでなく、不可欠になると信じている。

楽観論者と悲観論者の反応の違いは、悲観論者にとってはゲームは終わったということだ。楽観論者にとっては、ゲームは始まったばかりだ。我々が大切にしている数学文化の側面の一部は生き残らないだろうと認めざるを得ない。そして、その喪失を悼むのは人間として自然なことだ。しかし、今、数学を研究するための驚くべき新しいツールが存在する。それを避け、「現在存在する数学コミュニティは、数学そのものよりも重要である」と言うのは、ひどい間違いだろう。

醜い真実。

このブログや他の場所で、数学は理解についてであると皆が言っているにもかかわらず、arXivを一目見れば、我々の職業の多くの人々が、物事を「最初に」証明しようとする、やや見苦しい駆け込みでAI支援の論文を急いで発表しているのがわかる。他の多くの人が指摘しているように、新しい証明を生み出す能力と、理解を示す能力、あるいは分野を新しく興味深い方向に押し進める能力との間に、急速に隔たりが生じている。人々がますます多くの結果を生成するにつれて、ライデン宣言は名ばかりで精神は失われつつあり、時間スケールがはるかに圧縮され、常にスクープされる脅威が人々の頭上にぶら下がっている以外は、「いつものようにビジネス」のように見える。

私にとって、価値ある問題を選択し、完全にAIを使用して証明を得て、それを徹底的に理解し、それを使って興味深いさらなる質問や方向性を発展させた人は、実質的な数学的貢献をしたと言える。元の証明に新しい要素を何も提供しなかったとしても、私はその人に実質的な評価を与えるだろう。価値ある問題を選択することが、証明を生成することよりも重要になるかもしれない。

予想への執着は、これらの問題に答える（あるいは尋ねることさえ）可能にする探求的な仕事を著しく過小評価する傾向がある。我々は、皆がこれらの新しい結果をできるだけ早く発表するためにボタンを押すという駆け込みを奨励または報酬を与えることで、その間違いを百倍にする危険にさらされている。私は、全てのシニア数学者（終身雇用の特権を持つ者）に対し、既存の質問に答えるためだけにAIを使用するのではなく、将来の問題を作成し、新しいアイデアを探求する仕事に取り組むことを奨励したい。もしあなたが、シニア数学者として、AIにスクープされることを心配しているなら、それは十分に野心的ではないということだ。

では、実際には何をすべきか？

思考記事は、人々の行動に実際に影響を与えるメカニズムを提案しない限り、究極的には無意味である。最も効果的なツールは、修辞的なものではなく、経済的なものになるだろう。数学者は認識を求め、数学者は職を求め、数学者は助成金を求める。これに影響を与えるために現在我々が持っているツールは、採用とジャーナルでの論文受理である。

いくつか非常に基本的な具体的な提案、それに続いていくつかの詳細を提供する。

1. 全ての仕事をAI支援であるかのように評価する。
2. 採用は、書類ファイルよりも個人的なやり取りを重視する。ポスドクや大学院生を対面で面接する。
3. ジャーナルにもっと要求し、適応しないものは放棄する。
4. 大学院教育では幅広さをより重視するが、技術的なスキルを放棄しない。
5. より良いセミナーを提供する。
6. AIの結果に対する責任をより多く取る。

評価：

ネルソン・コールは、［画像:
\displaystyle 2^{67}-1 = 193707721 \cdot 761838257287.
］という素因数分解を発見するために、日曜日の3年間を費やしたことで有名である。

1903年当時、これは数学への貢献であった。2003年に同じ数を手計算で素因数分解することは、同様に印象的な算術の偉業だろうが、その数学への貢献（以前は知られていなかったとしても）ははるかに少なくなるだろう。なぜなら、これはコンピュータ代数システムを使えば1秒未満で実行できるからだ。AIが「容易」または「困難」の経済性を変えていることは明らかである—定理の経済の崩壊についてはすでに多くのことが語られている。やがて（おそらく急速に）、実質的な数学への貢献とは何かについての新しい感覚が現れるだろう。それは興味深い質問をすること、新しいプログラムを開発すること、あるいは全く別の何かかもしれない。将来、機械で生成可能な結果のみに基づいて論文を評価する理由はないと私は思う。たとえその結論が機械で既に得られるものであっても、新しい証明はそれが導入するアイデアに対して依然として実質的な評価に値する。では、なぜ今すぐ始めないのだろうか？重要なのは、AIへのアクセスが数学の進歩に必要になるとは全く思わないということだ—人間的な理解を価値あるものとし続ける限り。これが最も議論を呼ぶ推奨事項だと感じるが、最も避けられないことでもあるとも感じる。それは、長い間存在してきた我々の報酬構造の一側面を手放すことを必要とするが、同時に将来は意味をなさなくなる構造でもある。現在、AIの使用にはスティグマがあり、多くのAI開示の表現は、機械の貢献を最小限に抑えようとする試みのように読める。もし我々が全ての論文を潜在的にAI支援であると評価するなら、著者にその数学がなぜ興味深いのか、どのような疑問を提起するのか、そしてそれがより広範な主題とどのように関連しているのかを説明することを要求しなければならない。我々は、人々が常にそうすることを望んでいるのではないか？

採用：

人々に行動を変えてもらうには、採用レベルでの評価方法を変えなければ不可能だろう。過去の怠惰な委員会は、候補者が印象的である理由を正当化するために、JAMSの論文、Annalsの論文、あるいは他の出版物のコレクションを指し示すことがあった。私は、数学をどこへ行かせたいのかという物語、それが可能である理由を説明する技術的能力、多くの数学分野について議論できる能力、そして過去にこれら全てを実行した実証済みの記録を探している。これは決して急進的な新アイデアではない。採用プロセスは、書類ファイルよりも個人的なやり取りがはるかに重要になるだろう。

終身雇用の職だけでなく、ポスドクや大学院生のポジションについても面接を行うことが標準的な慣行になるべきだ。「高次ホモトピー論を研究している」とだけ聞いて大学院生を受け入れたものの、入学後に円のホモロジーを計算できないことが判明したという経験は、皆あるだろう。同時に、私は終身雇用レベルの候補者を面接し、当初は曖昧だったが、30分間のオフィスでの会話の後、数学に対する深いビジョンを持っているだけでなく、それを同僚に伝えられる人物だと確信したことがある。このアプローチを取るようになれば、我々自身の大学院生を、数学をより良く説明できるように訓練する責任が生じる。これは、我々がもっと真剣に受け止めるべきことである。数学を深く知ることと、それを流暢に説明することの間には違いがあることに注意してほしい。それらは関連しているが異なるスキルである。理想的には両方が欲しいが、最終的には後者により高い価値を置く。

ジャーナル：

ジャーナルシステムは、AI以前から改革が切実に求められていた。我々の現在のインセンティブは、システムを氾濫させるだけの一層の漸進的な数学を生み出すことにある。必要な抜本的な改革は、編集委員会との合意では実現しないだろう。（学者が何かに合意するのがどれほど難しいか知っているだろうか？）ジャーナルに受理されることは、正確さの保証（もしそうであったとしても）からとうに遠ざかり、単に質の証明として機能してきた。私は、今後原稿をどのように評価すべきかについての哲学を上に説明した。その上で、arXivに投稿された論文の相当な割合は、どこにも出版されるべきではないと言いたい。もしジャーナルが、執筆、アイデア、説明の点で論文にさらに多くを要求するなら、それは編集者、査読者、そして最終的には著者にとっても、人生をより良くするだろう。

もし編集委員会が適応できないなら、より急進的なアイデアは、ジャーナルを（少なくとも一時的に）完全に放棄することだ。（例外的な有用性と明瞭さを強調するジャーナルにはまだ場所があると思う（Essential Number Theoryを参照）。）人々が論文を書くのをやめることを提唱しているわけではないが、ジャーナル出版という言い訳を取り除くことで、論文はそれ自身のメリットで立つことになる。論文は説得力のある物語を語っているか？Leanで検証されているか？我々は、より少ない（そしてより良い）論文を生み出すべきであり、より多くではない。自律的にAIによって生成された証明（うまくいけばLeanでチェックされたもの）も、その場所を持ち、我々の集合的な知識の一部として記録されるべきである。（hexagonmathを参照）。

大学院生、初年度コース、セミナー：

我々が直面する最も厄介な問題の一つは、大学院生をどう訓練するかである。典型的な論文は、学生に古い問題のバリエーションを解決するための技術的スキルを教えるための、オーバーハングの問題を割り当てることだった。そして、彼らが進むにつれて、学んだ技術を新しいケースに拡張し、うまくいけばより広い問題に分岐できるという期待があった。そのような論文がボタン一つで生成できる時代において、良い学生が将来何をするかを期待するかに基づいて再評価する必要がある。AIリソースがあっても、コンパクトな算術双曲3多様体とコリュバーギン系の間のリンクを探求できる人はいないだろう。もし彼らがこれらの用語のどちらの意味も知らなければ。（そして、もしどうにかしてできたとしても、なぜ気にするのだろうか？）学問分野としての数学のより広い概要を与えることが、はるかに重要になっている。私が大学院生に博士号の終わりに達成してほしいのは、自分の専門分野をはるかに超えた数学の見解であり、同時に少なくともある種のクラスの問題に対する実証可能な技術的スキルを持つことである。しばしば、学生はサブエリアの技術的スキルを持って卒業するが、その分野の他の側面、ましてや他の数学分野の経験は、技術的な指導であり、彼らはすでに忘れてしまっているが、本当のビジョンはない。

私は上で、AIが関与しているかのように仕事を見直す必要があると主張した。しかし、これは、コンピューターの存在が子供たちに算術を教えるのをやめるべきだという意味ではないのと同様に、AIなしで深い数学を行う学生を教える必要がないという意味ではない。

これは、何を教えるか、そして学生がそれについて話すことをどう学ぶかに影響を与える。大学院コースは、学生にそのトピックが数学の他の場所で何が可能にするかについての理解を残すべきである。技術的な詳細の一部を忘れてしまっても、問題とつながりについての感覚を保持することを期待すべきである。

もし我々が、個人で理解を示す能力に基づいて人々をより評価するなら、我々は明らかに、数学を他の人々に、対面で、あるいはセミナーで、そして同僚に説明するように学生を訓練することにもっと意識的になる必要がある。我々は、学生にこのスキルを学ぶ機会を与えるために取り組む必要がある。最も成功した学生の集団は、一緒に学び、互いに数学について話す学生であることを忘れてはならない。

また、数学の博士号を取得した人が皆、学界に進むわけではないことも忘れてはならない。博士課程の長さと構造が、学界外のキャリアを追求する学生に役立つかどうかについても問うべきである。

セミナー：

セミナーは伝統的に、誰かが最新の結果の詳細を発表する場である。数学は難しいため、これはほとんど常に、以前の方法に対するマイナーな変更を説明することになり、しばしば、それを面白くするために十分な広範な文脈なしに行われる。代わりに、セミナーは新しい仕事に完全に焦点を当てるべきではない。それらは、より広範な興味深い問題を中心に構成され、我々が立ち往生している道、進歩できる道、希望を持っている道、そしておそらく最後に、もしあれば、何らかの新規性を説明するべきである。これは私が常に学生に講演するように奨励してきた方法だ！シニア教員として、私たちは皆、講演者にさらに多くを要求するためにセミナーで声を上げる必要がある。

所有権。

数学者は職業として、これらの結果に対するより多くの所有権を取るのが良いだろう。機械から出てきたものは、数千年にわたる人間の数学的努力の知的基盤の上に築かれている。一度、シリコンバレーのタイクーンや数学的なツイッターの愚か者にこれらの結果を帰するのではなく、人類の名においてクレジットを取り始めると、すぐに気分が良くなるだろう。

世界は私たちを見ている。

私の学部長は最近、シカゴ大学の寄付者やその他の友人と会うためにニューヨークを訪れた。彼女が話した人々は皆、数学専攻であるかどうかにかかわらず、数学について話したがった。世界は私たちを見ている。深い技術的背景を持たずに数学を気にかけている人は非常にたくさんいる（3Blue1Brownは600万人以上の登録者がいる！）。人文科学の私の友人たちは皆、社会における数学者が、人類の最も古い知的活動の管理者であり、知識の最前線の探求者であることの両方が重要であると信じている。私たちが深く気にかけている文化の一部が消えてしまうことは理解しているし、人間として、それに対する感情的な反応は非常に自然である。しかし、これは、多くの素晴らしい新しい機会、可能性、そして楽観的になる理由があることを皆に説明する時である。我々は数学の新しい時代の瀬戸際に立っており、何が起こるかを見るのが楽しみだ。

注：

デュミニル＝コパンの発言に関するさらなる文脈については、このNumberphileビデオも参照のこと。彼の完全な引用には、「我々は回復力のあるコミュニティであり、我々が適応することを疑わない」とも書かれている。

ここで言及されているテーマの多くは、他の投稿でも取り上げられている。3つの例を挙げる：

• 数学者はAIによって生成された結果に対してより多くの所有権を持つべきだという考えは、ネスター・ギレンの投稿でも探求された。
• AIが私たちにさらに野心的になる機会を与えるという考えは、ベン・アンティオの投稿で提起されている。
• 私たちは、適切なインセンティブを作成するために報酬構造を見直す必要があるという考えは、ブライナ・クラの投稿で探求された。

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