AI時代の「エゴのない」数学

AI時代の「エゴのない」数学

［これはKarthik C. S.、Amit Sahai、およびJie Xueによるゲスト投稿です。このブログ記事は、当初は異なるファイル形式で書かれ、AIを使用して変換されました。 — T.］

数学者にとって、自分たちの仕事の目的について注意深く考える良い時期が来ています。人工知能（AI）の開発は、その問いを異常なほどの力で私たちに突きつけています。議論の多くは、どのタスクを機械が実行し、どの能力が人間特有のものとして残るかということに関わっています。しかし、私たちの応答は、より前の問いにも依存します。すなわち、私たちは数学的な仕事をどのように理解しており、何がその価値を与えているのでしょうか？もし私たちの答えが、結果の生産や個人の能力の証明と切り離せなくなっているとすれば、現在の不確実性は、仕事自体の概念における困難を明らかにするかもしれません。

数学には、大きく分けて二つの視点があります。一つは、私たちは数学を構築する際にそれを発明する、という考え方です。概念を導入し、公理を選択し、理論を発展させます。もう一つは、数学はこれらの活動とは独立して存在し、私たちの仕事はそれを発見することだ、という考え方です。これらの視点は、数学の実践のあらゆる側面で必ずしも意見が一致する必要はありません。私たちは明らかに形式化や論証を発展させます。より深い問いは、私たちが理解するようになる真理がこれらの行為にその存在を負っているのか、それとも私たちの構築物が、私たちに依存しない何かを認識することを可能にするのか、ということです。

数学的真理の発見は受動的に聞こえるかもしれませんが、化石を探す古生物学者は、どこを掘るべきかを決め、技術を開発し、不完全な遺骸の重要性を認識する必要があります。化石は調査よりもずっと前に存在していましたが、それを見つけるには並外れた想像力が必要かもしれません。それらの先行する存在は、調査者の活動に方向性を与えます。同様に、数学的発見には、以前は気づかれなかった関係性を理解可能にする、言語や枠組み全体の invent が必要かもしれません。発見には偉大な創造性が必要かもしれませんが、それは発見された真理を個人の創造物にするものではありません。私たちは、自分たちの構築物が私たちを驚かせるたびに、この区別に出会います。ある目的のために導入された定義が、別の場所で予期せぬつながりを明らかにします。例を整理しているように見えた仮説が、反例を許容します。異なる問いを通じて発展した二つの理論が、共通の構造を表現していることが判明します。それぞれの場合において、私たちの思考は、自由に決定しなかった何かに遭遇します。私たちは定義を修正したり、仮説を放棄したりできますが、それを望むだけで元の論証を有効にすることはできません。

プラトン的な視点は、この独立性について自然な説明を与えます。この見方によれば、誰かが素数であるという事実を証明するずっと前から、無限に多くの素数が存在していました。数学的真理は、私たちの認識を待つことも、それから権威を受け取ることもありません。私たちは構造をどのように記述するかを選ぶことができますが、その性質を同じ方法で選ぶことはできません。この視点は、数学者の位置も変えます。私たちの知性は、私たちとは独立した秩序が理解されるための手段となります。仕事の重要性は、その秩序との関係にあります。

正しい導出と、その重要性の理解との区別も同様に重要です。公理系は無限に多くの演繹を許容しますが、それらを生成する能力だけでは、価値ある探求の方向性を供給しません。数学的命題は、形式的には正しくても、啓発的でない場合があります。私たちは無数の定義を導入し、それらに関する無数の命題を証明できます。何が一つの定義を啓発的にするのでしょうか？なぜ一つの定理は、他のものが単に利用可能な資料に加わるだけであるのに対し、根本的な何かを明らかにしているのでしょうか？これらの問いは、特定の調査が、それが明らかにする原則との関係に関わっています。数学的センスは、それを単なる個人の好み以上のものとして理解する限り、ここで場所を得ます。私たちは、ある理論が、以前は別々に理解されていたものの間に統一性を明らかにしたり、現象がなぜ起こるのかを認識できるようにしたりする場合、それを高く評価します。数学的真理は私たちとは独立して存在するかもしれませんが、それらの発見は私たちの理解を変え、世界についての私たちの経験を豊かにすることができます。より長い連鎖の推論を実行する能力だけでは、そのような理解を説明しません。推論は、関係性を明確にし、その正当性を明示することによって、理解に役立ちます。しかし、推論の成功は、すべての知識がそれに還元できることを意味しません。また、より広範に推論する能力が、何を知る価値があるのか、なぜ知識を求めるのかを決定するわけでもありません。

数学は知識の一分野にすぎません。すべてが数学的に理解できるわけではなく、数学的達成が知的生命の究極の目的でもありません。しかし、私たちはますます、出版物、引用、賞、その他の業績指標を通じて知的生命を測定しています。これらは有用ですが、仕事自体の価値を定義するようになると、問題となります。私たちは数学者を生産的な能力の集合として、数学を単なるその産出物として見始めます。この視点からは、AIに取って代わられることへの不安は自然です。これらのタスクをより良く実行する機械は、私たちの価値を脅かすように見えます。しかし、問題はAIが登場するずっと前に始まっていました。私たちはすでに、機械に適した言葉で自分自身を理解するようになっていました。AIは、この見方の結果を単に露呈させるだけです。

対応は、創造性、直感、センスといった人間特有の能力に避難所を求めるだけでは済みません。もし私たちがこれらの能力を主に機械に対する優位性を与えるからという理由で評価するなら、私たちは知的な価値の同じ概念に囚われたままです。なぜ私たちの追求の価値が、誰かや何かよりもそれにおいて優れているかに依存しなければならないのでしょうか？

数学は、この全体的な方向性を再考する機会を提供します。その真理は、それを表現する人物の区別によって、より真実になるわけではありません。証明を理解する際に、私たちは自分たちの思考を、その有効性が私たちに属さない関係性に適合させます。私たちが到達する特定の経路は、私たちの個性の痕跡を帯びているかもしれません。理解されたことは、その個性のはるか彼方で利用可能です。この経験によって、知識が私たち自身に帰属する達成として最高の価値を持つという信念を緩めることができます。

「エゴのない」数学は、その可能性を真剣に受け止めることから始まります。謙虚さは、私たちの業績に対する控えめさや、クレジットを共有することへの寛大さを超えます。それは、私たちが知識を追求する場所に関わります。私たちは、既存の目的を果たすために真理を求めるかもしれませんし、発見したものがそれらの目的自体を変えることを許容するかもしれません。もし、その発見が私たちの重要性を維持することを条件として真理に近づくなら、私たちはすでにそれを自分自身に従属させています。この再編成を達成することは困難な場合があります。なぜなら、知的洗練さは、私たちが理解することを妨げるまさにその愛着のために、精巧な防御を提供することができるからです。重要なのは、私たちの能力が真理に応答し続けるかどうかです。それは、真理が私たちに、私たちがそれらの能力を何のために使っていたのかを再考することを要求する場合でさえです。

この視点からは、AIによる数学的発見の可能性は、私たちの目的についての悲しみの源である必要はありません。真理がアクセス可能になったのです。その価値は、私たちの著者性の不在によって損なわれることはありません。私たちは、その出来事を直ちに私たちの相対的な重要性についての判断に変える必要はありません。検索は、すべての進歩が探求者を vindicate することを要求せずに続けることができます。事実、そのような vindication への要求は、競争相手が別の数学者であろうと機械であろうと、常に追求を負担してきました。

したがって、私たちの前にある機会は、数学的労働の再編成よりも実質的なものです。それは、知的な生活に価値を与えるものを再考し、真理の追求が私たちの仕事だけでなく、人生へのアプローチ方法さえも形作るように招待します。

これは、私たち全員に聖人のようになれと求めているように聞こえるかもしれません。それが私たちに徳において成長し、自分自身の重要性への執着を手放すことを求めている限り、その印象は真実からそれほど遠くありません。しかし、徳は他者の賞賛のために育むものではありません。それは、私たちの仕事においてさえ、真の喜びのために必要です。難しい問題を解決したり、賞を獲得したりすることからの満足感は、それが他者との比較における私たちの地位に基づいている場合、一時的なものになり得ます。理解することの喜びは異なります。以前は不明瞭だったことが明確になり、誰かが先に発見しても色褪せない美しさを認識します。私たちは、誰からもそれを奪うことなく、この喜びを分かち合うことができます。徳において成長することは、自分自身の重要性を確立する必要から解放され、それをより完全に体験することを可能にします。

この視点は、数学界におけるAIに関する二つの立場を調和させるのに役立つかもしれません。一部の人々はAIの使用に快適であるか、あるいは熱狂的でさえありますが、その使用のための適切なプロセスと原則を開発したいと考えています。他の人々はAIを全く使用しないことを好みます。両方の立場にはメリットがあります。エゴのない数学は、より高い考慮事項を導入することによって、それらを調和させる方法を提供します。すなわち、どちらのアプローチも、私たちがそれをどのように追求するかに関わらず、同じ根底にある数学的真理へのコミットメントを反映することができます。私たちの目的は、特定の政策問題を解決することではなく、私たちの熟議、そして最終的には私たちの行動を導くことができる、より高次の視点を開発することです。

この光の下で見れば、AIが数学で達成するかもしれないことを恐れる必要はありません。私たちの誰も生まれるずっと前から数学は美しく、私たちが去った後も美しくあり続けるでしょう。その価値は私たちの業績に依存せず、それを理解することからの私たちの喜びも、発見をするのが私たちであることに依存する必要はありません。私たちの目的は、真理が私たちが求めるものと、私たちが何になるかを govern することを許容する意思にかかっています。

このエッセイの著者である私たちは、そのようなエゴのなさを達成するにはまだほど遠いところにいます。それにもかかわらず、私たちはそれを、私たちが努力したい理想として認識しています。

思考実験で締めくくりましょう。ラマヌジャンは「方程式が神の思考を表現しない限り、私にとって何の意味もない」と言ったと報告されています（Robert Kanigel, The Man Who Knew Infinity, 1992）。もし彼が今日生きていて、数学におけるAIの進歩を目撃していたら、それらが数学者としての彼の目的に対して何を意味するのかに動揺するでしょうか？

AI使用に関する声明：ここに述べられた考えは完全に私たち自身のものですが、この投稿の作成においてGPT Astra 6.0およびGPT 6.1 Solの支援に感謝いたします。