ワールド・ベースボール・クラシックでの得点

ワールド・ベースボール・クラシックでの得点

［画像: sums-of-overdispersed-counts.jpg］

Metaculus Cupの2026年春号では、2026年のワールド・ベースボール・クラシック（WBC）のノックアウトステージにおける総得点に関する質問がありました。この記事の完成が遅れてしまい、申し訳ありません。

コミュニティの予測では、平均値は70点弱、範囲は60〜80点でした。私の予測は60点、範囲は42〜80点でした。実際の結果は59点となり、私の予測にほぼ一致しました。どのようにしてこの結果が得られたのかを見ていきましょう。

まず、手っ取り早く推測するずさんな方法があります。これはあまり興味深いものではありませんが、良いベースラインとなります。それが終わったら、より詳細なレベルでカウント（得点数など）のモデリングを掘り下げていきます。そこが面白くなるところです。これらの手法は、スポーツ予測だけでなく、あらゆる種類のカウントに適用できます！

ベースライン予測

私は野球について何も知りません。ラン（得点）が何かも知りません。そこで、リサーチアシスタントに過去のWBCで何点あったかを数えてもらいました。

2023年以前の数字が低いのは、これらの年にはノックアウトステージの準々決勝が含まれていなかったためです。したがって、基本的なモデルを構築できます。

2026年は7試合が行われるため、2026年の得点期待値は61点となります。

平均値の不確実性を得るには、1試合あたりの値の標準偏差が必要です2。これは約4です。7つの変数の合計の標準偏差は、7倍の標準偏差の平方根なので、約10点になります。これにより、初期の対称的な予測は、90%の信頼度で43〜79点となります。

しかし、そう簡単ではありません。この予測は、標準偏差の正確な値を知っている正規分布の薄い裾（thin tails）を仮定しています。標準偏差をそれほど正確には把握していません。なぜなら、4つの数字のみに基づいて推定したからです！これを考慮するために、便利な補正係数の表を使用します。これにより、90%の信頼度で、より現実的な35〜87点の予測が得られます3。これはすでに実際の予測値に対して妥当な予測です。コミュニティはどこから70点という数字を得たのでしょうか。

根本的な構造の発見

しかし、さらに改善できると私は考えています。2023年の得点数を展開すると、ステージ、試合、そしてチームに分割できることがわかります。

この追加の構造により、範囲を少し狭めることができるかもしれません。データのある4年間すべてのチーム、すべての試合についてこれを集計すると、得点数を次のように要約できます。

ここで奇妙な点が浮かび上がります。これらはポアソン事象ではありません！もしポアソン事象であれば、分散は平均値とほぼ等しくなるはずですが、ここでは2倍以上になっています4。これは、前の予測で仮定したように得点が独立にばらついているのではなく、塊となって発生することを示す、有意な差です。

独立ではない、むしろ互いを促進するように見える一連の事象からカウントが発生する場合、そのカウントは過分散していると言います。負の二項分布は、過分散したカウントをモデル化するための一般的な選択肢です。

負の二項分布に関する補間

負の二項分布には少なくとも5つの異なるパラメータ化がありますが、過分散したカウントをモデル化する目的では、(\mu)（平均値）と(\theta)（分散度）を使用して分布の形状を記述するのが最も論理的です。ここで、(\mu)は平均カウントであり、(\theta)は過分散の量、つまりカウントがポアソンカウントと比較してどれだけ塊になっているかを表します。

ここで物事が美しくまとまります。(\mu)は一旦無視して、(\theta)パラメータの参照点を見てみましょう。

• ゼロ: 過分散がないことを意味し、分布はポアソン分布に等しくなります。
• ゼロから1の間: ポアソン分布と幾何分布のブレンドが得られます。分散が増加し、裾が厚くなります。
• 1: 分布が幾何分布に等しくなります。この時点で、裾は指数関数的になります。
• 1より大きい: ここでは、サブ指数関数的な裾を持つべき乗則（power law）が得られます。

下のプロットは、(\mu)が25の密度曲線を描画しており、透明なポアソン分布（(\theta=0)）から始まり、完全な幾何分布（(\theta=1)）まで上昇します。最も透明な曲線から完全な曲線へとたどると、分布が左に移動し、軸と合流し（低いカウントの可能性が高まる）、ポアソンから幾何分布へと変化していく様子が見て取れます。同時に、極端なカウント（右側にある）も大きくなります。

［画像: overdispersed-counts-01.svg］

上記のプロットでは(\theta=1)で停止しましたが、べき乗則の領域までさらに進むこともでき、それはすぐにクレイジーになります。

［画像: overdispersed-counts-02.svg］

この記事ではこのヘビーテイル領域を使用しませんが、(\theta)が1で止まるわけではなく、さらに続くことを明確にしたかっただけです。

誰も気にしない驚くべき直感

ポアソン分布と幾何分布の間の範囲、そしてそれらがどのように変化するかを考えてみましょう。

コインを投げると想像してください。幾何分布は、最初の連続したテール（裏）のシーケンスの長さをモデル化します。最初の投球がヘッド（表）になった場合、それはゼロになる可能性があります。通常は1つか2つでしょう。しかし、ヘッドが出るのが遅ければ、それは非常に長くなる可能性もあります。実際、(n)回の連続したテールが続いた後でも、次のテールが出る確率は依然として50/50です。これにより、幾何分布の分散はかなり高くなります。

負の二項分布（(\theta)がゼロから1の間）は、複数のテールシーケンスの合計長をモデル化します。具体的には、最初の(r=\frac{1}{\theta})個のテールシーケンスの長さをモデル化します。したがって、(\theta=1)の場合は最初の1つのシーケンスの長さをモデル化するため、幾何分布と同等になります。(\theta=0.5)の場合は、最初の2つのシーケンスの合計長をモデル化します。

これを理解するために、(r)を増加させる（(\theta)を減少させる）につれて、仮想的なコインに何が起こるかを考慮する必要があります。コインの確率を操作して、シーケンス内のテールの期待合計長が同じになるようにします。したがって、(r)を増加させると、確率も増加するため、ヘッドが出やすくなり、個々のテールシーケンスの長さは減少しますが、それらの合計長は同じままです。私たちがこれから言うことのすべては、たとえこれをしなくても成り立ちますが、テールの期待合計長を同じに保つことで、上記のプロットのように分散がどのように増加するかをより明確に見ることができます。

(\theta)が低くなる（または(r)が高くなる）と、多数のテールシーケンスの長さを数えることになります。それらの長さの変動は互いに打ち消し合い、より安定したものに収束します。したがって、(\theta)を減らして過分散を少なくすると、負の二項分布の分散は減少します。

ある時点で(\theta \rightarrow 0)（これは(r \rightarrow \infty)に対応します）に達します。この時点で、ヘッドが出る確率は(p \rightarrow 1)となり、ポアソン分布が得られます。しかし、これがポアソン分布の解釈にとって何を意味するかを考えてみてください。私たちが数えている事象は、ヘッドがほぼ毎回確実に起こるような無限個のテールシーケンスの合計長です！

これはすべて狂っていると思いませんか？5そして、負の二項分布のヘビーテイル領域はどうでしょうか？それは、ヘッドがますますまれになるが、補償のためにテールの部分的なシーケンスのみを数える場合です。

野球の得点を過分散カウントとしてモデル化する

問題に戻り、コンピューターに各チームが得点したカウントに負の二項分布を適合させるように依頼します。結果は次のとおりです。

(\mu = 4.3,;;;r=3.4)

驚くべき直感から、(r)が3.4は(\theta)が0.30に対応することがわかります。(\theta)だけでは過分散の程度を判断するのは難しいですが6、最初の(\theta)増加プロットの中央付近の曲線に大まかに対応します。この直感をさらに適用しようとすると、コインを投げ、コインがわずかにテールに偏っている場合の最初の3.4シーケンスのテールの合計長を数えることを考えるかもしれません7。

野球について十分に知らないため、これを物理的なプロセスに翻訳することはできませんが、ゲーム中には平均して1試合あたり7.7回発生する何らかの意思決定ポイントがあり、それがトリガーされると44%の確率で相手チームが得点するのを阻止するイベントが発生するはずです。イベントが3.4回トリガーされると、ゲームは終了します。これは、3.4回目のイベントが実際にゲームを終了させる原因となるという意味ではなく、平均してそのようなイベントが3.4回発生した後にゲームが終了するという意味です。同様に、イベントが発生しないことが直接得点を引き起こすわけではなく、得点がそのようなイベントの不在と相関しているだけかもしれません。

いずれにせよ、これらはすべて質問の予測には関係ありません。

7試合の総カウント数

1試合の1チームのカウントを(\mathrm{NB}(\mu=4.3, r=3.4))としてモデル化しました。ノックアウトステージの全7試合の合計数を求めています。これは、上記の分布から14回サンプリングしたものです。

ここで、負の二項分布には便利な恒等式があります。

([x_i \sim \mathrm{NB}(r, p) \Longrightarrow \sum_i^n x_i \sim \mathrm{NB}(nr, p)\ ]

これは、負の二項分布を((r, p))でパラメータ化しており、14個のそのようなランダム値の合計の分布を求めたい場合、パラメータ((14r, p))を持つ負の二項分布を使用できることを示しています。

しかし、((r, p))は持っておらず、((\mu, r))を持っています。それを((r, p))に変換してから戻すこともできますが、もっと楽しい方法があります。独自のパラメータ化に対応するバージョンを証明できます！(\mu')と(r')を見つけたいと考えています。

([x_i \sim \mathrm{NB}(\mu, r) \Longrightarrow \sum_i^n x_i \sim \mathrm{NB}(\mu', r')\ ]

パラメータ変換から始めます。

([p(\mu, r) = \frac{r}{r + \mu}\ ]

これにより、最初の恒等式を次のように言い換えることができます。

([x_i \sim \mathrm{NB}(r, p(\mu, r)) \Longrightarrow \sum_i^n x_i \sim \mathrm{NB}(nr, p(\mu', nr))\ ]

これが真であるためには、(p(\mu', nr) = p(\mu, r))となる(\mu')の値を見つける必要があります。つまり、次のようにする必要があります。

([\frac{r}{r + \mu} = \frac{nr}{nr + \mu'}\ ]

これは(\mu' = n\mu)の場合に発生します。なぜなら、その場合、次のようになります。

([\frac{nr}{nr + \mu'} = \frac{nr}{nr + n\mu} = \frac{nr}{n(r + \mu)} = \frac{r}{r + \mu}\ ]

したがって、探している恒等式は単純に次のようになります。

([x_i \sim \mathrm{NB}(\mu, r) \Longrightarrow \sum_i^n x_i \sim \mathrm{NB}(n\mu, nr)\ ]

なんと便利なのでしょう8。この便利さから、このバージョンの恒等式を誰かが述べているのを見つけられなかったのはさらに奇妙です。何か見落としたに違いありません。

これは、2026年WBCのノックアウトステージで得られる得点数が、(\mathrm{NB}(\mu=14 \times 4.3, r=14 \times 3.4))として分布する可能性が高いことを意味します。これにより、90%の信頼度で42〜80点の予測が得られます。

より詳細なモデリングに基づいた新しい区間42〜80は、ベースラインの35〜87よりも優れています（狭いです）。それが私たちが期待していたことです。14個の独立だが塊のあるカウントの合計としてアプローチしたことで、変動を推定するためにより多くのデータを使用し、合計するときにノイズの一部を平均化しました。

適切であれば、負の二項分布を使用してください！

付録A: チーム間の得点カウントの独立性について

上記すべてにおいて、試合における両チームの得点カウントは互いに独立であると扱いました。試合における両チームの得点カウントは独立ではないかもしれないという議論が聞こえてくるかもしれません。それらは負の相関があるのが理にかなっています。良いチームはより多くの得点を挙げ、かつ相手の得点を阻止します。これは私たちにとって悪いことです。なぜなら、それはカウントの変動を増加させ、私たちの予測を過度に自信のあるものにするからです。

幸いなことに、もし何かあるとすれば、相関は正であるように見えます。ただし、それは非常に弱いため、チームあたりの得点数ではなく、試合あたりの得点数に負の二項モデルを適合させても、90%の信頼度で同じ予測区間が得られます。